Lý thuyết tập hợp bắt đầu với một quan hệ nhị phân cơ bản giữa một phần tử o và một tập hợp A. Nếu o là một thành viên (hoặc phần tử) của A, ký hiệu o ∈ A được sử dụng. Khi đó ta cũng nói rằng phần tử a thuộc tập hợp A. Vì các tập cũng là các đối tượng, quan hệ phần tử cũng có thể liên quan đến các tập.

Quan hệ giữa các tập hợp

Quan hệ bao hàm

Nếu tất cả các thành viên của tập A cũng là thành viên của tập B , thì A là một Tập hợp con của B , được biểu thị A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} , và tập hợp B bao hàm tập hợp A. Ví dụ, {1, 2} là một tập hợp con của {1, 2, 3}, và {2} cũng vậy, nhưng { 1, 4} thì không.

Quan hệ bằng nhau

• Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của tập A.

Chú ý rằng 1 và 2 và 3 là các thành viên của tập {1, 2, 3}, nhưng không phải là tập con, và các tập con, chẳng hạn như {1}, không phải là thành viên của tập {1, 2, 3}.

Các phép toán trên các tập hợp

• Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∪ {\displaystyle \cup } B

Ta có A ∪ {\displaystyle \cup } B = {x: x ∈ {\displaystyle \in } A hoặc x ∈ {\displaystyle \in } B}, hợp của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập {1, 2, 3, 4}.

• Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A ∩ {\displaystyle \cap } B

Ta có A ∩ {\displaystyle \cap } B = {x: x ∈ {\displaystyle \in } A và x ∈ {\displaystyle \in } B}, giao của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập { 2, 3}.

• Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A ∖ B {\displaystyle A\setminus B}

Ta có: A \ B = {x: x ∈ {\displaystyle \in } A và x ∉ {\displaystyle \notin } B}Lưu ý, A \ B ≠ {\displaystyle \neq } B \ A

• Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A ⊂ {\displaystyle \subset } B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)